السرعة في الحركة الدائرية
ولإيضاح مفهوم التسارع نفرض أن جسماً يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها v.
في لحظة معينة يكون الجسم عند النقطة p1 ويمثل متجه السرعة الابتدائية عند هذه النقطة بالمتجهv1 ...
وبعد فترة من الزمن يصبح الجسم عند النقطة p2 كما في الشكل ، وتكون سرعته 2 vالتي تساوي v1 في المقدار ولكن ليس لها نفس الاتجاه.
وجدير بالذكر أن متجه سرعة الجسم عند أية نقطة على المسار الدائري يكون دائماًفي اتجاه مماس الدائرة عند هذه النقطة . وبتمثيل السرعة الابتدائية v1 والنهائية
2 v بمتجهيهما v1 ، v2 يلاحظ أن السرعة وإن لم تتغير في المقدار إلا أنها غيرت اتجاهها وبتطبيق قاعدة جمع المتجهات يتضح أن :
ويجدر القول أن هذا القوس ∆s يساوي الوتر بين p2 , p1 عندما تكون الزاوية ∆ θ صغيرة أني عندما يؤول الزمن للصفر
ويلاحظ أنه عندما يؤول الزمن إلى الصفر تؤول الزاوية ∆ θ للصفر. وبالتالي يتخذ ∆vاتجاهاً عمودياً على المماس .
وبأسلوب آخر يكون التغير في السرعة عمودياً على المماس وبالتالي منطبقاً مع نصف قطر الدائرة .
ولذلك يطلق على هذا التسارع اسم التسارع القطري أو المركزي ( Radial acceleration) لأن اتجاهه يكون دائماً في اتجاه مركز الدائرة منطبقاً مع نصف قطرهاً . وهكذا فإن التسارع الشعاعي (المركزي) arهو تعريفاً يساوي:
ومفهوم هذا التسارع أن الجسم يسير في مسار دائري إلا إذا كانت هناك قوة تجذبه نحو هذا المركز. ويطلق على هذه القوة اسم (القوة الجاذبية المركزية) . ووفقاً لقانون نيوتن الثاني:
F = m.a
تكون القوة الجاذبية المركزية Fc (Centripetal Force) هي:
ولزيادة إيضاح مفهوم هذه القوة يمكن ضرب بعض الأمثلة عليها ...
فمثلاً لماذا يدور القمر حول الأرض ؟
والإجابة..
أنه يدور حولها بسبب وجود قوة جذب مركزية تجذبه نحو مركز الكرة الأرضية تحديداً بالعلاقة :
(m.v² / r = Fc ) حيث m في هذه الحالة هي كتلة القمر ، v سرعته الخطية في مساره الدائري ، rهو نصف قطر الدوران أي المسافة من مركز الأرض وحتى مركز القمر .
ومن الأمثلة الأخرى على القوة الجاذبة المركزية...
دوران الإلكترونات حول النوى في ذرات المادة , حيث توجد قوة جاذبة مركزية للإلكترونات تجعلها تدور في مساراتها حول النواة .
كذلك إذا ربطت كرة صغيرة بخيط ومنحتها مساراً دائرياً بإصبعك فإنك تلاحظ أنك تشد الكرة دائماً تجاه المركز بقوة، ولو انقطع الخيط لاتخذت الكرة مساراً مستقيماً وليس دائرياً لو كانت على سطح أفقي أملس.
كذلك ينبغي الإشارة إلى قوة أخرى تظهر عندما يتحرك الجسم في مدار دائري يطلق عليها القوة الطاردة المركزية (Centrifugal force ) . وهذه القوة الأخيرة هي في الحقيقة قوة ردة الفعل المترتبة على قانون نيوتن الثالث . ولزيادة الوضوح ينبغي القول أن القوة الجاذبة المركزية هي تلك القوة التي تجذب الجسم نحو مركز دورانه فتجعله يتحرك في المسار الدائري .
وأما القوة الطاردة المركزية فهي تنتج عن الحركة في المسار الدائري بفعل قانون نيوتن الثالث ، ولذلك فهي تساوي تماماً القوة الجاذبة المركزية في المقدار ولكن تعاكسها في الاتجاه .
يتم تصميم الطرق عند المنحنيات بزاوية ميل معينة بحيث توازن المركبة الأفقية لقوة الجاذبية القوة الطاردة المركزية وتدعم قوة الاحتكاك.
افرض أنه يراد تصميم منحنى لسرعة تبلغ 15 م /ث و نصف قطر المنحنى 50 م
ماهي زاوية الميل اللازمة؟
الحل:
اذا كانت m= كتلة السيارة
و r= نصف قطر المنحنى
و g= قوة الجاذبية الأرضية
و v= السرعة التي تسير فيها السيارة
يرسم مخطط القوى المؤثرة على السيارة بعد تحليل القوة العمودية N إلى مركبتين :الأولى موازية للطريق المائل
N sinθ تؤثر لأسفل الطريق والأخرى رأسية N cosθ
بالإضافة إلى هاتين القوتين هناك وزن السيارة لأسفل mg والقوة الطاردة المركزية (m.v²/r):
وهي موازية للطريق وتقع السيارة لأعلى
وبتطبيق قانون نيوتن الثاني والسيارة متزنة فإن:
N cos θ =m.g
N sin θ = m.v²/r
وبقسمة طرفي المعادلة الثانية على طرفي الأولى , يكون:
tan θ =v²/r.g
وبالتعويض عن القيم؛ فإن:
tan θ =0.459
=> θ = 0.008˚
---------
يقوم طيار في طيارة عسكرية بمناورة ، فيدور بطائرته في مدار رأسي نصف قطره2.7 كم بسرعة ثابتة مقدارها 225 م /ث
عين القوة الذي يؤثر بها المقعد على الطيار عندما يكون:
أ) عند قاع الدورة
ب) عند قمة الدورة وعبر عن إجابتك بدلالة وزن الطيار mg
الحل:
اذا كانت m= كتلة السيارة
و r= نصف قطر المدار الرأسي
و g= قوة الجاذبية الأرضية
و v= سرعة الطيارة
أ) عند القاع تكون هناك قوتان رأسيتان مؤثرتان لأسفل على الطيار هما قوة الطرد المركزية (m.v²/r) ، ووزنه mg ،
وبالتالي تكون محصلة هاتين القوتين ( وهي التي يتأثر بها الطيار) هي:
Nb = mg+mv²/r
= m(g+(v²/r))
= 28.55 m N
وتكون نسبة هذه القوة إلى وزنه هي:
Nb/ mg =2.913
ب) أما في القمة فيكون اتجاه القوة الطاردة المركزية لأعلى أما الوزن فيبقى لأسفل وعليه تكون القوة المحصلة هي حاصل طرح هاتين القوتين أي أن :
Nt = mv²/r -mg
= m(v²/r -g)
=8.95 m N (Kg m/sec 2)
وتكون النسبة هي :
Nt /mg
= 8.95m/mg = 0.913
ولإيضاح مفهوم التسارع نفرض أن جسماً يتحرك بسرعة ثابتة مقدارها v.
في لحظة معينة يكون الجسم عند النقطة p1 ويمثل متجه السرعة الابتدائية عند هذه النقطة بالمتجهv1 ...
وبعد فترة من الزمن يصبح الجسم عند النقطة p2 كما في الشكل ، وتكون سرعته 2 vالتي تساوي v1 في المقدار ولكن ليس لها نفس الاتجاه.
وجدير بالذكر أن متجه سرعة الجسم عند أية نقطة على المسار الدائري يكون دائماًفي اتجاه مماس الدائرة عند هذه النقطة . وبتمثيل السرعة الابتدائية v1 والنهائية
2 v بمتجهيهما v1 ، v2 يلاحظ أن السرعة وإن لم تتغير في المقدار إلا أنها غيرت اتجاهها وبتطبيق قاعدة جمع المتجهات يتضح أن :
v1+∆ v =v2
=> ∆ v = v2-v1
=> ∆ v = v2-v1
ويجدر القول أن هذا القوس ∆s يساوي الوتر بين p2 , p1 عندما تكون الزاوية ∆ θ صغيرة أني عندما يؤول الزمن للصفر
ويلاحظ أنه عندما يؤول الزمن إلى الصفر تؤول الزاوية ∆ θ للصفر. وبالتالي يتخذ ∆vاتجاهاً عمودياً على المماس .
وبأسلوب آخر يكون التغير في السرعة عمودياً على المماس وبالتالي منطبقاً مع نصف قطر الدائرة .
ولذلك يطلق على هذا التسارع اسم التسارع القطري أو المركزي ( Radial acceleration) لأن اتجاهه يكون دائماً في اتجاه مركز الدائرة منطبقاً مع نصف قطرهاً . وهكذا فإن التسارع الشعاعي (المركزي) arهو تعريفاً يساوي:
r/ ² v = ar
ومفهوم هذا التسارع أن الجسم يسير في مسار دائري إلا إذا كانت هناك قوة تجذبه نحو هذا المركز. ويطلق على هذه القوة اسم (القوة الجاذبية المركزية) . ووفقاً لقانون نيوتن الثاني:
F = m.a
تكون القوة الجاذبية المركزية Fc (Centripetal Force) هي:
m.v² / r = Fc
ولزيادة إيضاح مفهوم هذه القوة يمكن ضرب بعض الأمثلة عليها ...
فمثلاً لماذا يدور القمر حول الأرض ؟
والإجابة..
أنه يدور حولها بسبب وجود قوة جذب مركزية تجذبه نحو مركز الكرة الأرضية تحديداً بالعلاقة :
(m.v² / r = Fc ) حيث m في هذه الحالة هي كتلة القمر ، v سرعته الخطية في مساره الدائري ، rهو نصف قطر الدوران أي المسافة من مركز الأرض وحتى مركز القمر .
ومن الأمثلة الأخرى على القوة الجاذبة المركزية...
دوران الإلكترونات حول النوى في ذرات المادة , حيث توجد قوة جاذبة مركزية للإلكترونات تجعلها تدور في مساراتها حول النواة .
كذلك إذا ربطت كرة صغيرة بخيط ومنحتها مساراً دائرياً بإصبعك فإنك تلاحظ أنك تشد الكرة دائماً تجاه المركز بقوة، ولو انقطع الخيط لاتخذت الكرة مساراً مستقيماً وليس دائرياً لو كانت على سطح أفقي أملس.
كذلك ينبغي الإشارة إلى قوة أخرى تظهر عندما يتحرك الجسم في مدار دائري يطلق عليها القوة الطاردة المركزية (Centrifugal force ) . وهذه القوة الأخيرة هي في الحقيقة قوة ردة الفعل المترتبة على قانون نيوتن الثالث . ولزيادة الوضوح ينبغي القول أن القوة الجاذبة المركزية هي تلك القوة التي تجذب الجسم نحو مركز دورانه فتجعله يتحرك في المسار الدائري .
وأما القوة الطاردة المركزية فهي تنتج عن الحركة في المسار الدائري بفعل قانون نيوتن الثالث ، ولذلك فهي تساوي تماماً القوة الجاذبة المركزية في المقدار ولكن تعاكسها في الاتجاه .
التمارين :
يتم تصميم الطرق عند المنحنيات بزاوية ميل معينة بحيث توازن المركبة الأفقية لقوة الجاذبية القوة الطاردة المركزية وتدعم قوة الاحتكاك.
افرض أنه يراد تصميم منحنى لسرعة تبلغ 15 م /ث و نصف قطر المنحنى 50 م
ماهي زاوية الميل اللازمة؟
الحل:
اذا كانت m= كتلة السيارة
و r= نصف قطر المنحنى
و g= قوة الجاذبية الأرضية
و v= السرعة التي تسير فيها السيارة
يرسم مخطط القوى المؤثرة على السيارة بعد تحليل القوة العمودية N إلى مركبتين :الأولى موازية للطريق المائل
N sinθ تؤثر لأسفل الطريق والأخرى رأسية N cosθ
بالإضافة إلى هاتين القوتين هناك وزن السيارة لأسفل mg والقوة الطاردة المركزية (m.v²/r):
وهي موازية للطريق وتقع السيارة لأعلى
وبتطبيق قانون نيوتن الثاني والسيارة متزنة فإن:
N cos θ =m.g
N sin θ = m.v²/r
وبقسمة طرفي المعادلة الثانية على طرفي الأولى , يكون:
tan θ =v²/r.g
وبالتعويض عن القيم؛ فإن:
tan θ =0.459
=> θ = 0.008˚
---------
يقوم طيار في طيارة عسكرية بمناورة ، فيدور بطائرته في مدار رأسي نصف قطره2.7 كم بسرعة ثابتة مقدارها 225 م /ث
عين القوة الذي يؤثر بها المقعد على الطيار عندما يكون:
أ) عند قاع الدورة
ب) عند قمة الدورة وعبر عن إجابتك بدلالة وزن الطيار mg
الحل:
اذا كانت m= كتلة السيارة
و r= نصف قطر المدار الرأسي
و g= قوة الجاذبية الأرضية
و v= سرعة الطيارة
أ) عند القاع تكون هناك قوتان رأسيتان مؤثرتان لأسفل على الطيار هما قوة الطرد المركزية (m.v²/r) ، ووزنه mg ،
وبالتالي تكون محصلة هاتين القوتين ( وهي التي يتأثر بها الطيار) هي:
Nb = mg+mv²/r
= m(g+(v²/r))
= 28.55 m N
وتكون نسبة هذه القوة إلى وزنه هي:
Nb/ mg =2.913
ب) أما في القمة فيكون اتجاه القوة الطاردة المركزية لأعلى أما الوزن فيبقى لأسفل وعليه تكون القوة المحصلة هي حاصل طرح هاتين القوتين أي أن :
Nt = mv²/r -mg
= m(v²/r -g)
=8.95 m N (Kg m/sec 2)
وتكون النسبة هي :
Nt /mg
= 8.95m/mg = 0.913
ليست هناك تعليقات:
إرسال تعليق